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研究一下，是否存在一個三角形具有以下性質：

(1)三邊是連續的三個自然數；

(2)最大角是最小角的2倍．

答案：略
解析：

設三角形三邊長分別是，n，，三個角分別是，，．由正弦定理，

，

所以，

．

由余弦定理，

，

即

．

化簡，得

，

所以，n＝0，或n＝5．n＝0不合題意，舍去．n＝5．三角形的三邊分別是4，5，6．可以驗證此三角形的最大角是最小角的2倍．

　　另解：先考慮三角形所具有的第一個性質：三邊是連續的三個自然數．

　　(1)三邊的長不可能是1，2，3．這是因為1＋2＝3，而三角形任何兩邊之和大于第三邊．

　　(2)如果三邊分別是a＝2，b＝3，c＝4．

因為

，

，

．

在此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是，

，

所以，

．

邊長為2，3，4的三角形不滿足條件．

　　(3)如果三邊分別是a＝3，b＝4，c＝5，此三角形是直角三角形，最大角是90°，最小角不等于45°，此三角形不滿足條件．

　　(4)如果三邊是a＝4，b＝5，c＝6．此時，

，

，

．

因為

，而，，

所以，

．

所以，邊長為4，5，6的三角形滿足條件．

　　(5)當，三角形的三邊是a＝n，b＝n＋1，c＝n＋2時，三角形的最小角是A，最大角是C．

，

．

cosA隨n的增大而減小，A隨之增大，cosC隨n的增大而增大，C隨之變�。捎�時有C＝2A，所以，時，不可能．

　　綜上可知，只有邊長分別為4，5，6的三角形滿足條件．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點是F（1，0），0為坐標原點．
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）點M是直線l：x=4上的動點，以OM為直徑的圓過點N，且NF⊥OM，是否存在一個定點，使得N到該定點的距離為定值？并說明理由．

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（2013•汕尾二模）設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）在an與an+1之間插入n個數，使這n+2個數組成公差為dn的等差數列（如：在a1與a2之間插入1個數構成第一個等差數列，其公差為d1；在a2與a3之間插入2個數構成第二個等差數列，其公差為d2，…以此類推），設第n個等差數列的和是An．是否存在一個關于n的多項式g（n），使得An=g（n）dn對任意n∈N*恒成立？若存在，求出這個多項式；若不存在，請說明理由；
（3）對于（2）中的數列d1，d2，d3，…，dn，…，這個數列中是否存在不同的三項dm，dk，dp（其中正整數m，k，p成等差數列）成等比數列，若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

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（1）求數列的前三項：a1，a2，a3；
（2）是否存在一個實數λ，使得數列{
an+λ2n
}為等差數列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由；
（3）求數列{an}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•煙臺一模）已知公差大于零的等差數列{an}的前n項和Sn，且滿足：a2•a4=65，a1+a5=18．
（1）若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比數列的連續三項，求i的值；
（2）設bn=
n(2n+1)Sn
，是否存在一個最小的常數m使得b1+b2+…+bn＜m對于任意的正整數n均成立，若存在，求出常數m；若不存在，請說明理由．

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