Question

（2008•寶坻區一模）已知數列{a_n}滿足a_n=2•a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），且a₄=81．
（1）求數列的前三項：a₁，a₂，a₃；
（2）是否存在一個實數λ，使得數列{

an+λ

2n

}為等差數列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由；
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）直接根據條件a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₄=81先求出a₃的值，然后依此類推出a₂，a₁的值；
（2）先假設其存在，然后根據等差數列對應的相鄰兩項的差為常數即可求出λ的值；
（3）先根據（2）的結論求出數列{a_n}的通項公式，再借助于分組求和以及錯位相減求和即可求出結論．

解答：解：（1）由an=2an-1+2n-1(≥2)⇒a4=2a3+24-1=81⇒a3=33
同理可得    a₂=13，a₁=5．（3分）
（2）假設存在的實數λ符合題意，則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

必是與n無關的常數，則

1+λ

2n

=0⇒λ=-1．（7分）
故存在實數λ=-1，使得數列{

1+λ

2n

}為等差數列．
（3）由（2）知數列{

an-1

2n

}是公差d=1的等差數列∴

an-1

2n

=

a1-1

2

+(n-1)×1=n+1⇒an=(n+1)•2n+1（9分）
S_n=n+2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹
2S_n=2n+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺²⇒相減整理得：S_n=n（2ⁿ⁺¹+1）（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推式求數列的特定項以及數列的求和問題，本題涉及到數列求和的分組法以及錯位相減法，錯位相減法適用于一等差數列與一等比數列相乘組成的新數列，屬于中檔題．