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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓，設是橢圓上任一點，從原點向圓作兩條切線，切點分別為．

（1）若直線互相垂直，且點在第一象限內，求點的坐標；

（2）若直線的斜率都存在，并記為，求證：．

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由直線互相垂直，且與圓相切，可得，再由在橢圓上，滿足橢圓方程，求得點的坐標；（2）運用直線和圓相切的條件：，結合二次方程的韋達定理和點滿足橢圓方程，化簡整理，即可得證．

試題解析：（1）由題意得：圓的半徑為，因為直線互相垂直，且與圓相切，所以四邊形為正方形，故，即①

又在橢圓上，所以②

由①②及在第一象限，解得，所以點.

（2）證明：因為直線，均與圓相切，所以，化簡得.同理有，所以是方程的兩個不相等的實數根，所以，又因為在橢圓上，所以，即，所以，即.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，C、D兩點的坐標為,曲線上的動點P滿足.又曲線上的點A、B滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若點A在第一象限，且，求點A的坐標；

（3）求證：原點到直線AB的距離為定值.

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【題目】如圖，某人打算做一個正四棱錐形的金字塔模型,先用木料搭邊框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一條棱和邊都相等.

(1)求證:直線AC垂直于直線SD；

(2)若搭邊框共使用木料24米，則需要多少立方米的填充材料才能將整個金字塔內部填滿?

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【題目】如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，，為邊的中點，點在線段上.

（1）證明：平面平面；

（2）若，平面，求四棱錐的體積.

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【題目】已知數列中，，，的前項和為，且滿足（）.

（1）試求數列的通項公式；

（2）令，是的前項和，證明：；

（3）證明：對任意給定的，均存在，使得時，（2）中的恒成立.

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【題目】已知表示不小于的最小整數，例如.

（1）設,,若，求實數的取值范圍；

（2）設，在區間上的值域為，集合中元素的個數為，求證：；

（3）設（），，若對于，都有，求實數的取值范圍.

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【題目】已知動點到點的距離與它到直線的距離的比值為,設動點形成的軌跡為曲線..

（1）求曲線的方程;

（2）過點的直線與曲線交于兩點,過點作,垂足為，過點作,垂足為,求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若數列中存在三項，按一定次序排列構成等比數列，則稱為“等比源數列”。

（1）在無窮數列中，，，求數列的通項公式；

（2）在（1）的結論下，試判斷數列是否為“等比源數列”，并證明你的結論；

（3）已知無窮數列為等差數列，且，（），求證：數列為“等比源數列”.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的兩個焦點為、，P為該雙曲線上一點，滿足，P到坐標原點O的距離為d，且，則________.

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