Question

【題目】已知函數.

（1）若是函數的一個極值點，試討論的單調性；

（2）若在R上有且僅有一個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）.

【解析】

（1）根據極值點處導數為零，計算出參數以及，再對求導，對參數進行分類討論，從而求得該函數的單調區間；

（2）分離參數，構造函數，通過討論構造的函數的單調性求得值域，即可求得參數的取值范圍.

（1），

因為是函數的一個極值點，

則，所以，

則，

當，

當時，恒成立，

在上單調遞減，

當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述：

當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）在上有且僅有一個零點，

即方程有唯一的解，令，

可得，

由，

得或，

（1）當時，，所以在上單調遞減，

所以，所以的取值范圍為.

（2）當時，，所以在上單調遞增，

所以，即，

故的取值范圍為.

（3）當時，，所以在上單調遞減，

所以，即，

即的取值范圍為.

所以，當或，

即或時，在上有且只有一個零點，

故的取值范圍為.