已知函數
.
（1）當
時，求函數
在
上的最大值；
（2）令
，若
在區間
上不單調，求
的取值范圍；
（3）當時，函數
的圖像與x軸交于兩點
，且
，又
是
的導函數，若正常數
滿足條件
.證明：
.
(1)-1；(2) 
；(3)參考解析
解析試題分析：(1)因為函數，當時.求出函數
的導數，即可得到上函數的單調性，從而得到函數的最大值.
(2)因為，若在區間上不單調，即等價于函數
在（0，3）上有實數解，且無重根.所以由，分離變量，通過研究函數
，
的范圍，即可得到取值范圍.
(3)因為當時，函數的圖像與x軸交于兩點，所以可得
即可用
表示m.又由
化簡.可消去m.即可得到關于的代數式，再利用導數知識求出的最值即可得結論.
試題解析：（1） 
函數
在[
,1]是增函數，在[1,2]是減函數，
所以
．
（2）因為
，所以
，
因為
在區間
上不單調，所以在（0，3）上有實數解，且無重根，
由，有
=
，（
）
所以
（3）∵
，又
有兩個實根
，
∴
，兩式相減，得
，
∴
,
于是
．
．
要證：
，只需證：
只需證：
．(*)
令
，∴(*)化為 
，只證
即可． 
在（0，1）上單調遞增，
，即
．
∴．
考點：1.函數的最值.2.函數的單調性的應用.3.等價變換數學思想.4.換元的數學思想.5.運算量較大屬于有難度題型.
一線名師提優試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
(
,
為自然對數的底數).
(1)若曲線
在點
處的切線平行于
軸,求
的值；
(2)求函數
的極值；
(3)當
的值時,若直線
與曲線沒有公共點,求
的最大值.
(注：可能會用到的導數公式：
；
）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－x＋a.
(1)當a＝0時，f(x)≥g(x)在(1，＋∞),上恒成立，求實數m的取值范圍；
(2)當m＝2時，若函數h(x)=f(x)－g(x)在[1,3]上恰有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形
（如圖所示，其中O為圓心，
在半圓上），設
，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．
（1）求V關于θ的函數表達式；
（2）求
的值，使體積V最大；
（3）問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．
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在
上的最大值與最小值；
時，函數
的圖像恒在直線
上方，求實數
的取值范圍；
時，
．
.
在
處有極大值
．
的解析式；
.
，求
的解析式；
在
上恒成立，求實數
的取值范圍；
.
（其中
），
，已知它們在
處有相同的切線.
，
的解析式；
上的最小值；
零點個數.