Question

【題目】已知集合是滿足下列性質的函數的全體：存在實數、，對于定義域內任意，均有成立，稱數對為函數的“伴隨數對”.

（1）判斷函數是否屬于集合，并說明理由；

（2）若函數，求滿足條件的函數的所有“伴隨數對”；

（3）若、都是函數的“伴隨數對”，當時，，當時，，求當時，函數的解析式和零點.

Answer 1

【答案】（1）；詳見解析

（2），，；

（3），零點為，2015，2016.

【解析】

(1) 由題意可得，化為對 成立，需滿足條件，解方程即可判斷；(2) 由題意可得，運用兩角和差公式，化簡結合余弦函數的值域即可得到所求數對；(3)由都是函數的“伴隨數對”，可得為周期為4的函數，，，，的函數解析式，可得，的解析式，即可得到所求零點.

(1)的定義域為，假設存在實數，對于定義域內的任意均有成立，則，

化為，由于上式對于任意實數x都成立：，解得

是函數的“伴隨數對”，；

(2) 函數，

，

，

，

都成立，，

，

，又，

故，

當時，，

當時，，

的“伴隨數對”為；

(3) 都是函數的“伴隨數對”，

，

，

當時，則，此時，

當時，則，此時，

當時，則，此時，

，

，

當時，函數的零點為.