Question

已知f(x)=xlnx.
（I）求f(x)在[t，t+2]（t>0）上的最小值；
（Ⅱ）證明：都有。

Answer 1

（I）（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：
（I）本小題首先根據函數的導函數，通過其分析函數的單調性，從而可得其在區間上的單調性，然后可求其最小值
（Ⅱ）根據（Ⅰ）知，當時， 的最小值為，于是把問題等價于證明，然后利用導數分析其函數的單調性，進而求得最值，便可證明。
試題解析：
（Ⅰ）解：，令.
當單調遞減；
當單調遞增.
因為，
（1）當0＜t＜時；
（2）當t≥時，
所以 
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當時，
的最小值為
于是問題等價于證明
設
則，易得
從而對一切，都有成立