Question

已知某物體的溫度θ(單位:攝氏度)隨時間t(單位:分鐘)的變化規律是:θ=m·2^t+2^1-t(t≥0,且m>0).
(1)如果m=2,求經過多少時間,物體的溫度為5攝氏度.
(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度,求m的取值范圍.

Answer 1

(1) 經過1分鐘,物體的溫度為5攝氏度.   (2) [,+∞)

(1)若m=2,則θ=2·2^t+2^1-t=2(2^t+),
當θ=5時,2^t+=,
令2^t=x(x≥1),則x+=,即2x²-5x+2=0,
解得x=2或x=(舍去),此時t=1,
所以經過1分鐘,物體的溫度為5攝氏度.
(2)物體的溫度總不低于2攝氏度,即θ≥2恒成立.
亦即m·2^t+≥2恒成立.
亦即m≥2(-)恒成立.
令=a,則0<a≤1.
∴m≥2(a-a²),由于a-a²≤,∴m≥.
因此當物體的溫度總不低于2攝氏度時,m的取值范圍是[,+∞).