Question

【題目】已知函數對任意的實數m,n都有,且當時,.

(1)求；

(2)求證：在R上為增函數；

(3)若,且關于x的不等式對任意的恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1).

(2)證明見解析；

(3).

【解析】

(1) 代入求值即可；

(2)利用單調性的定義、充分利用和當時,.即可證明出在R上為增函數；

(3)利用、把不等式轉化為兩個函數值的大小關系的式子,再利用(2)的結論,可以得到一個不等式,要想這個不等式對任意的恒成立,通過構造函數,利用函數的最值最后求出實數的取值范圍.

（1）令,則,∴.

（2）證明：任取,且.

則,,∵,

∴

∴,∴在R上為增函數.

（3）∵,即

∴,∵,∴.

又∵在R上為増函數,∴

∴對任意的恒成立

令，只需滿足即可

當,即時,在上遞增

因此,由得,此時；當，即時，

,由得,

此時.

綜上,實數的取值范圍為.