如圖，已知二次函數
的圖像過點
和
，直線
，直線
（其中
，
為常數）；若直線
與函數
的圖像以及直線
與函數以及的圖像所圍成的封閉圖形如陰影所示.
（1）求
；
（2）求陰影面積
關于的函數
的解析式；
（3）若過點
可作曲線
的三條切線，求實數
的取值范圍.
（1）
；（2）
；（3）
.
解析試題分析：（1）根據二次函數的圖像過點和，法一：可以直接將點代入得到
，進而求解即可；法二：由二次函數的圖像過點，可設
（兩根式），進而再將代入可求出
的值，最后寫出函數的解析式即可；（2）先求出直線與函數的圖像的交點坐標，進而根據定積分的幾何意義即可求出
；（3）先由條件判斷點
不在曲線上，于是設出切點
，進而求出切線的斜率，一方面為
，另一方面
，于是得到等式
即
，根據題意，關于
的方程要有三個不相等的實根，設
，轉化為該函數的極大值大于零且極小值小于零，最后根據函數的極值與導數關系進行求解運算即可求出的取值范圍.
(1)二次函數的圖像過點，則，又因為圖像過點
∴
3分
∴函數的解析式為
4分
(2)由
得
，
∴直線與的圖像的交點橫坐標分別為
，
6分
由定積分的幾何意義知：
8分
（3）∵曲線方程為
，
∴點
不在曲線上，設切點為，則
，且
所以切線的斜率為
，整理得 10分
∵過點可作曲線的三條切線，∴關于方程有三個實根
設，則
，由
得
∵當
時，
在
在上單調遞增
∵當
時，
在
上單調遞減
∴函數的極值點為 12分
∴關于當成有三個實根的充要條件是
解得，故所求的實數的取值范圍是 14分.
考點：1.二次函數的圖像
手拉手全優練考卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
。
(1)若
的單調減區間是
,求實數a的值;
(2)若函數
在區間
上都為單調函數且它們的單調性相同，求實數a的取值范圍；
(3)a、b是函數
的兩個極值點，a<b，
。求證：對任意的
，不等式
成立．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知f(x)是定義在集合M上的函數．若區間D⊆M，且對任意x0∈D，均有f(x0)∈D，則稱函數f(x)在區間D上封閉．
(1)判斷f(x)＝x－1在區間[－2,1]上是否封閉，并說明理由；
(2)若函數g(x)＝
在區間[3,10]上封閉，求實數a的取值范圍；
(3)若函數h(x)＝x3－3x在區間[a，b](a，b∈Z，且a≠b)上封閉，求a，b的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝sinx，g(x)＝mx－
(m為實數)．
(1)求曲線y＝f(x)在點P(
)，f()處的切線方程；
(2)求函數g(x)的單調遞減區間；
(3)若m＝1，證明：當x>0時，f(x)<g(x)＋.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
，
，
，其中
。
（1）若
與
的圖像在交點（2，
）處的切線互相垂直，
求
的值；
（2）若
是函數
的一個極值點，
和1是的兩個零點，
且∈（
，求
；
（3）當
時，若
，
是的兩個極值點，當|－|>1時，
求證：|
－
|
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（
為常數）．
是函數
的一個極值點，求
時，試判斷
，使不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
．
時，求函數
的極值；
，證明：
內存在唯一的零點；
是
的增減性.
＋ln x(a≠0，a∈R)．求函數f(x)的極值和單調區間．