Question

《文匯報》載，舉世矚目的上海磁懸浮列車工程于2003年3月2日在浦東新區開工，該工程全線長35km．磁懸浮列車運行時懸浮于軌道上面，運行平穩舒適，安全無噪聲，可以實現全自動化運行．據德國科學家預言，到2014年，采用新技術的磁懸浮列車的時速將達到1000km/h．現假設上海磁懸浮列車每小時使用的能源費用（千元）和列車速度（km/h）的立方成正比，且最大速度不超過550km/h．當速度是100km/h時，它的能源費用是每小時0.04千元，其余費用（不論速度如何）都是每小時40.96千元，
（1）求列車試運行時，完成全程路線所需的總費用與車速的函數關系；
（2）求車速為多少時，運行的總費用最低？（若寫不下，可做在反面）

Answer 1

解：（1）設能源費用每小時是q千元，車速是vkm/h，依題意有q=kv³（k為比例系數），
將v=100，q=0.04代入得k=4×10^-8．于是有q=4×10^-8v³．
因此列車從甲地行駛到乙地，所需的總費用為y=f（x）=1.4×10^-6x²+
（2）因為f（x）=1.4×10^-6x²++
≥3[（1.4×10^-6x²）×（）×（）]═2.688（千元）．
并且最小值在1.4×10^-6x²=時取得，對應的x=800km/h
當且僅當v²=，即v=800時，上面不等式取等號．
但由實際情況可知，目前建造的列車根本達不到800km/h這個速度，即上式中的v是有限制的：0＜v≤550，因此不能利用均值不等式來求函數的最值．我們可以證明函數f（v）在定義域（0，550）上是單調遞減的，故車速為550km/h時，運行的總費用最低．
分析：（1）依題意要明確三點：1、列車運行的總費用由兩部分組成，即能源費用及其余費用，2、為了求出能源費用，還必須求出列車每小時使用的能源費用與列車速度的立方成正比的比例系數，3、要注意實際背景下的函數定義域，以獲得具有實際意義的答案．
（2）利用均值不等式求出函數的最小值，注意定義域，然后根據函數的單調性求最值即可．
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，同時考查了利用基本不等式求函數的最值，屬于中檔題．