Question

【題目】如圖所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.

（1）證明：平面平面；

（2）點在線段上，試確定點的位置，使平面與平面所成的二面角的余弦值為.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點為線段中點

【解析】

（1）推導出平面，，，從而平面，由此能證明平面平面；
（2）以為坐標原點，以，所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點為線段中點時，平面與平面所成的二面角的余弦值．

解：（1）因為平面平面，

平面平面，

，平面，所以平面，

又平面，所以，

在△中，，，，

由余弦定理得，，

所以，所以.

又，，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）以為坐標原點，以，所在直線分別為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，，

，，，，，

設，則.

設平面的一個法向量為，

則，即，取，得.

設平面的一個法向量為，

由，得，

令，得，

因為平面與平面所成的二面角的余弦值為，

所以，

整理得，

解得或（舍去），

所以點為線段中點時，平面與平面所成的二面角的余弦值為.