Question

【題目】已知平面直角坐標系中兩個定點，，如果對于常數，在函數，的圖像上有且只有6個不同的點，使得成立，那么的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

畫出函數y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的圖象，討論若P在AB上，設P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，設P（x，0）；若P在CD上，設P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐標，求得數量積，由二次函數的最值的求法，求得取值范圍，討論交點個數，即可得到所求范圍．

函數y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4

，

（1）若P在AB上，設P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．

∴（3﹣x，6+2x），（﹣3﹣x，6+2x）．

∴x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27=，

∵x∈[﹣4，﹣2]，∴λ≤11．

∴當λ或時有一解，當λ≤-1時有兩解；

（2）若P在BC上，設P（x，0），﹣2＜x≤2．

∴（3﹣x，2），（﹣3﹣x，2）．

∴x2﹣9+4＝x2﹣5，

∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．

∴當λ＝﹣5或﹣1時有一解，當﹣5＜λ＜﹣1時有兩解；

（3）若P在CD上，設P（x，2x﹣4），2＜x≤4．

（3﹣x，6﹣2x），（﹣3﹣x，6﹣2x），

∴x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27，

∵2＜x≤4，∴λ≤11．

∴當λ或時有一解，當λ<-1時有兩解；

綜上，可得有且只有6個不同的點P的情況是λ＜﹣1．

故選：C．