Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點任作一條直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在定點，使得直線與直線關于軸對稱？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試卷分析：（Ⅰ）根據離心率為，短軸右端點為A的坐標即可求出a,b的值，進而求出橢圓的方程；（Ⅱ）分類討論：當直線與軸不垂直時，當軸時，由橢圓的對稱性可知恒有直線與直線關于軸對稱，即在軸上存在定點，使得直線與直線關于軸對稱.

試卷解析：

（Ⅰ）由題意得，

，故橢圓的方程為.

（Ⅱ）假設存在點滿足題設條件.

當直線與軸不垂直時，設的方程為，

代入橢圓方程化簡得： ，

設，，則，，

所以

，

因為 ，

所以當時，，直線與直線關于軸對稱，

當軸時，由橢圓的對稱性可知恒有直線與直線關于軸對稱，

綜上可得，在軸上存在定點，使得直線與直線關于軸對稱.