Question

【題目】設函數（是自然對數的底數，）.

（1）求的最值；

（2）討論方程的根的個數.

Answer 1

【答案】（1）最大值為，無最小值（2）答案不唯一，具體見解析

【解析】

（1）由題意有，求出函數的單調區間，根據單調區間可得出函數的最值.
（2）當時，則，當時，則,討論出函數的單調性，在上單調遞增, 在上單調遞減, 當時，,根據函數的最值的符號情況分析其零點個數.

（1），由，解得，

當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是，

所以的最大值為，無最小值.

（2）令，，

（1）當時，，則，

所以，.

因為，，所以，因此在上單調遞增.

（2）當時，，則，

所以，，因為，，又，

所以，所以，因此在上單調遞減.

綜合（1）（2）可知，當時，，

當，即時，沒有零點，

故關于的方程根的個數為0；

當，即時，只有一個零點，

故關于的方程根的個數為1；

當，即時，

①當時，由（1）知，

要使，只需使，即；

②當時，由（1）知；

要使，只需使，即；所以當時，有兩個零點,

故關于的方程根的個數為2；

當時，關于的方程根的個數為0；

當時，關于的方程根的個數為1；

當時，關于的方程根的個數為2.