Question

【題目】記表示m，n中的最大值，如.已知函數，.

（1）設，求函數在上的零點個數；

（2）試探討是否存在實數，使得對恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）存在，.

【解析】

（1）利用導數求出的單調區間及最值，結合圖像即可判定；（2）構造函數，對該函數在的最大值進行分類討論求解，只需要最大值小于0即可.

（1）設，則.

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；

所，所以，即，所以.

設，結合與在上的圖象可知，

這兩個函數的圖象在內有兩個交點，

即在上的零點個數為2（或由方程在內有兩根可得）.

（2）假設存在實數，使得對恒成立，

則對恒成立，

即對恒成立，

①設，則，

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

所以，

當即時，，所以，因為，所以，

故當時，對恒成立；

當，即時，在上遞減，

所以.

因為，所以，

故當時，對恒成立.

②若對恒成立，

則，

所以.

由①②得，.

故存在實數，使得對恒成立，且a的取值范圍為.