Question

【題目】如圖，一段南北兩岸互相平行、寬度為的景觀河.靠南岸水域有一半徑為半圓形親水平臺，圓心在南岸邊上，北岸邊有一風雨亭（底座大小忽略不計），風雨亭距位于北岸邊上的點（在的正北方，在的右側）.為了方便市民休閑，現決定修建折線型步行棧道（圖中粗線所示），其中與圓相切，段的造價為4萬元/，段和段分別在南北兩岸邊上（其中為半圓的一條直徑的左端點），段和段的造價都為2萬元/.記為，.

（1）若，求棧道段的長；

（2）設三段棧道總造價為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）萬元.

【解析】

（1）設直線與圓切于，過做，垂足為，，在中分別求出，即可求解；

（2）由（1）得，在中，求出，求出總造價，根據函數特征，利用導數法求出極小值，進而求出其最小值.

（1）設直線與圓切于，過做，垂足為，

在中，，

在中，，

，

當時，；

（2）由（1）得，，

在中，，

令，當單調遞減，

當單調遞增，

所以當時，取得極小值，也是最小值，

此時，

最小值為萬元.