Question

【題目】數集M滿足條件：若，則.

（1）若，求集合M中一定存在的元素；

（2）集合M內的元素能否只有一個？請說明理由；

（3）請寫出集合M中的元素個數的所有可能值，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）集合M中一定含有的元素為：；（2）不能,理由見解析；（3）M中的元素個數為4，，理由見解析.

【解析】

(1)令，利用，則依次類推即可得出集合M中一定存在的元素；

(2)由題意利用無解，可得出集合M中不能只有一個元素；

(3)利用已知條件，則，以此類推得出集合M中出現4個元素，，，，且互不相等，當取不同的值時，集合M 中將出現不同組別的四個元素，所以可得出集合M中元素的個數為4，.

(1)由，令，則由題意關系式可得：

，，，

而，所以集合M中一定存在的元素有：.

(2)不，理由如下：

假設M中只有一個元素a，則由，化簡得，無解，所以M中不可能只有一個元素.

（3）M中的元素個數為4，，理由如下：

由已知條件，則，以此類推可得集合M中可能出現4個元素分別為：，，，，由(2)得，

若，化簡得，無解，故；

若，化簡得，無解，故；

若，化簡得，無解，故；

若，化簡得，無解，故；

若，化簡得，無解，故；

綜上可得：，所以集合M一定存在的元素有，當取不同的值時，集合M 中將出現不同組別的4個元素，所以可得出集合M中元素的個數為4，.