Question

【題目】若定義在D上的函數f（x）滿足：對任意x∈D，存在常數M>0，都有-M<f（x）<M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界。

（Ⅰ）判斷函數f（x）=-2x+2，x∈[0，2]是否是有界函數，請說明理由；

（Ⅱ）若函數f（x）=1++，x∈[0，+∞）是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) [-5，1].

【解析】試題分析：（Ⅰ）通過二次函數的性質計算出的范圍即可；（Ⅱ）根據有界函數的定義可得對任意，都有，利用分離參數可得在上恒成立求出左端的最大值右端的最小值即可.

試題解析：（Ⅰ）f（x）=。

當0≤x≤2時，1≤f（x）≤2，則-2≤f（x）≤2。

由有界函數定義可知f（x）=-2x+2，x∈[0，2]是有界函數。

（Ⅱ）由題意知對任意x≥0，都有。

所以有，

即在[1，+∞）上恒成立。

設t=，由x≥0，得t≥1。

設h（t）=，p（t）=。

由題可得。

而h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增。（單調性證明略）

h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1。

所以實數a的取值范圍為[-5，1]。