Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數圖象在點處的切線方程為，求的值；

（Ⅱ）求函數的極值；

（Ⅲ）若，，且對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導數的幾何意義，先對進行求導，再利用，可求出的值；（Ⅱ）求出的表達式，再分別對兩種進行討論，可得到函數的極值；（Ⅲ）函數恒成立問題，兩種思路，一種是，另一種是用參變分離的方法求解.

試題解析：（Ⅰ），∴.

函數圖象在點處的切線方程為∴.

（Ⅱ）由題意可知，函數的定義域為，

.

當時，，，為增函數，，為減函數，所以，.

當時，，，為減函數，，，為增函數，所以，.

（Ⅲ）“對任意的，恒成立”等價于“當時，對任意的，成立”，當時，由（Ⅱ）可知，函數在上單調遞增，在上單調遞減，而，所以的最小值為，，當時，，時，，顯然不滿足，

當時，令得，，，

（ⅰ）當，即時，在上，所以在單調遞增，所以，只需，得，所以.

（ⅱ）當，即時，在，，單調遞增，在，，單調遞減，所以，

只需，得，所以.

（ⅲ）當，即時，顯然在上，單調遞增，，不成立，

綜上所述，的取值范圍是.

（用分離參數做答酌情給分）