Question

已知sinx+siny=

2

3

，則

2

3

+siny-cos²x的取值范圍是

[

1

12

，

7

9

]

．

Answer 1

分析：利用正弦函數的有界性由siny=

2

3

-sinx∈[-1，1]可求得sinx的取值范圍，從而利用二次函數的性質可求得

2

3

+siny-cos²x的取值范圍．

解答：解：∵sinx+siny=

2

3

，
∴-1≤siny=

2

3

-sinx≤1，
∴-

1

3

≤sinx≤

5

3

，又-1≤sinx≤1，
∴-

1

3

≤sinx≤1．①
∴f（x）=

2

3

+siny-cos²x
=

2

3

+

2

3

-sinx-（1-sin²x）
=sin²x-sinx+

1

3

=(sinx-

1

2

)2+

1

12

，
∵-

1

3

≤sinx≤1，
∴當sinx=

1

2

時，函數f（x）=(sinx-

1

2

)2+

1

12

取到最小值

1

12

；
又（-

1

3

，0）距離對稱軸sinx=

1

2

的距離為

5

6

，（1，0）距離對稱軸sinx=

1

2

的距離為

1

2

，

5

6

＞

1

2

，
∴當sinx=-

1

3

時，函數f（x）=(sinx-

1

2

)2+

1

12

取到最大值

25

36

+

1

12

=

7

9

．
∴

2

3

+siny-cos²x的取值范圍是[

1

12

，

7

9

]．
故答案為：[

1

12

，

7

9

]．

點評：本題考查正弦函數的有界性，考查二次函數的單調性與最值，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．