Question

已知函數
（1）討論函數的單調性；
（2）若時，關于的方程有唯一解，求的值；
（3）當時，證明: 對一切，都有成立．

Answer 1

（1）當k是奇數時， f(x)在(0,+)上是增函數;     
當k是偶數時，f (x)在上是減函數，在上是增函數．
（2）
（3）當時， 問題等價于證明
由導數可求的最小值是，當且僅當時取到，
設，利用導數求解。

試題分析：（1）由已知得x＞0且．
當k是奇數時，，則f(x)在(0,+)上是增函數;     
當k是偶數時，則．　  
所以當x時，，當x時，．
故當k是偶數時，f (x)在上是減函數，在上是增函數．…………4分
（2）若，則．
記 ,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；   令,得．因為，所以（舍去），． 當時，，在是單調遞減函數；
當時，，在上是單調遞增函數．
當x=x₂時, ，．   因為有唯一解，所以．
則 即  設函數，
因為在x>0時，h (x)是增函數，所以h (x) = 0至多有一解．
因為h (1) = 0，所以方程(*)的解為x ₂ = 1，從而解得…………10分
另解:即有唯一解,所以:,令,則,設，顯然是增函數且，所以當時，當時，于是時有唯一的最小值，所以，綜上：．
（3）當時， 問題等價于證明
由導數可求的最小值是，當且僅當時取到，
設，則，
易得，當且僅當 時取到，
從而對一切，都有成立．故命題成立．…………16分
點評：難題，利用導數研究函數的單調性、極值、最值，不等式恒成立問題，是導數應用的常見問題，本題因為參數的引入，增大了討論的難度，學生易出錯。不等式恒成立問題，往往通過構造函數，研究函數的最值，使問題得解。