Question

某人上樓梯，每步上一階的概率為

2

3

，每步上二階的概率為

1

3

，設該人從臺階下的平臺開始出發，到達第n階的概率為P_n．
（Ⅰ）求P₂；
（Ⅱ）該人共走了5步，求該人這5步共上的階數ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意得：從平臺到達第二階有二種走法：走兩步，或一步到達，由互斥事件的概率公式計算可得答案．
（2）該人走了五步，共上的階數ξ取值為5，6，7，8，9，10．由題意得出ξ的分布列，進而根據公式求出其數學期望．

解答：解：（1）從平臺到達第二階有二種走法：走兩步，或一步到達，
故概率為P₂=

2

3

×

2

3

+

1

3

=

7

9

（2）該人走了五步，共上的階數ξ取值為5，6，7，8，9，10   
ξ的分布列為：

ξ	5	6	7	8	9	10
P	C 0 5 ( 2 3 )5	C 1 5 1 3 ( 2 3 )4	C 2 5 (  1 3 )2( 2 3 )3	C 3 5 ( 1 3 )3( 2 3 )2	C 4 5 ( 1 3 )4( 2 3 )	C 5 5 ( 1 3 )5

E（ξ）=5×（

2

3

）⁵+6×

C

1 5

1

3

(

2

3

)4+7×

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3+8×

C

3 5

(

1

3

)3(

2

3

)2+9×

C

4 5

(

1

3

)4(

2

3

) +10×

C

5 5

(

1

3

)5=

20

3

．
故該人這5步共上的階數ξ的數學期望為

20

3

．

點評：解決此類問題的關鍵是準確把握條件，熟練掌握各種概率的計算公式．