Question

【題目】已知函數，.

（1）求的單調區間和極值；

（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間；單調遞減區間是，，極小值，極大值；（2）.

【解析】

（1）求導，根據導數的正負可得函數的單調性，進而得函數的極值.

（2）對于任意的，總存在，使得，顯然

，故，設，，上式等價于，分類討論求出的取值范圍.

（1）由已知，有.令，解得或.

當變化時，，的變化情況如下表：

		0
	-	0	+	0	-
		0

所以，的單調遞增區間；單調遞減區間是，.

當時，有極小值，且極小值；

當時，有極大值，且極大值.

（2）由及（1）知，當時，；

當時，.設集合，

集合，

則“對于任意的，都存在，

使得”等價于，顯然.下面分三種情況討論：

（i）當，即時，由可知，，而，

所以不是的子集.

（ii）當，即時，有，

且此時在上單調遞減，故，因而.

由，有在上的取值范圍包含，則，所以.

（iii）當，即時，有，且此時在上單調遞減，

故，，所以不是的子集.

綜上的取值范圍是.