Question

【題目】已知以線段EF為直徑的圓內切于圓O：x2+y2＝16．

（1）若點F的坐標為（﹣2，0），求點E的軌跡C的方程；

（2）在（1）的條件下，軌跡C上存在點T，使得，其中M，N為直線y＝kx+b（b≠0）與軌跡C的交點，求△MNT的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2．

【解析】

（1）設FE的中點為Q，切點為G，連OQ，QG，取F關于y軸的對稱點F′,可得|F′E|+|EF|＝8,由橢圓的定義，可得解.

（2）聯立MN與橢圓的方程，由T在橢圓上得到k,b關系，利用k,b 表示△MNT的底邊MN和高，即得解.

設FE的中點為Q，切點為G，連OQ，QG，

則|OQ|+|QG|＝|OG|＝4

取F關于y軸的對稱點F′，連F′E，

故|F′E|+|EF|＝2（|OQ|+|QG|）＝8．

所以點E的軌跡是以F′，F為焦點，長軸長為4的橢圓．

其中，a＝4，c＝2，b＝2，

則曲線C的方程為；

（2）由題意，設M（x1，y1），N（x2，y2），則T（x1+x2，y1+y2）．

聯立直線MN與曲線C方程，可得

，

整理，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣16＝0．則

∴．

∵y1+y2＝k（x1+x2）+2b＝k（）+2b．

∴T（，）．

∵點T在軌跡C上，

∴（）2+4（）2＝16．

化簡，整理，得：b2＝4k2+1．

又∵|MN||x1﹣x2|

＝4．

點T到直線MN的距離d．

∴S△MNT|MN|d

4

＝2．