【題目】如圖，矩形
和菱形
所在的平面相互垂直，
，
為
的中點.
(Ⅰ)求證：
平面
；
(Ⅱ) 求
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由矩形
和菱形
所在的平面相互垂直，
，進而證得
平面，證得
，再根菱形ABEF的性質，證得
，利用線面垂直的判定定理，即可證得
平面
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知
，
，
兩兩垂直，以
為原點，為
軸，為
軸，為
軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面ACD和平面ACG一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.
（Ⅰ）證明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，
∵矩形
菱形
，∴平面，
∵AG
平面，∴，
∵菱形中，
，
為
的中點，∴
，∴，
∵
，∴平面.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，兩兩垂直，以為原點，為軸，為軸，為軸，
建立空間直角坐標系，
∵
，
，則
，
，
故
，
，
，
，
則
，
，
，
設平面
的法向量
，則
，
取
，得
，
設平面
的法向量
，則
，
取
，得
，
設二面角
的平面角為
，則
，
由圖可知為鈍角，所以二面角的余弦值為 .
能力評價系列答案
唐印文化課時測評系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，已知曲線
：
和曲線
：
，以極點
為坐標原點，極軸為
軸非負半軸建立平面直角坐標系.
（1）求曲線和曲線的直角坐標方程；
（2）若點
是曲線上一動點，過點作線段
的垂線交曲線于點
，求線段
長度的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，
為橢圓上一動點（異于左右頂點），
面積的最大值為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與橢圓相交于點
兩點，問
軸上是否存在點
，使得
是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
（其中a是常數）.
（1）求過點
與曲線
相切的直線方程；
（2）是否存在
的實數，使得只有唯一的正數a，當
時不等式
恒成立，若這樣的實數k存在，試求k，a的值；若不存在.請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
，過點
的直線
，
分別交
于不同的兩點
、
，直線
恒過點
（1）證明：直線，的斜率之和為定值；
（2）直線，分別與
軸相交于
，
兩點，在軸上是否存在定點
，使得
為定值?若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.
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