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【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）若實數為整數，且對任意的時，都有恒成立，求實數的最小值.

【答案】（Ⅰ）極大值為，無極小值；（Ⅱ）1.

【解析】

(Ⅰ)由題意首先求得導函數的解析式，然后結合導函數的符號討論原函數的單調性，從而可確定函數的極值；

(Ⅱ)結合題意分離參數，然后構造新函數，研究構造的函數，結合零點存在定理找到隱零點的范圍，最后利用函數值的范圍即可確定整數m的最小值.

(Ⅰ)設，

∴，

令，則；，則；

∴在上單調遞增，上單調遞減，

∴，無極小值.

(Ⅱ)由，即在上恒成立，

∴在上恒成立，

設，則，

顯然，

設，則，故在上單調遞減

由，，

由零點定理得，使得，即

且時，，則，

時，. 則

∴在上單調遞增，在上單調遞減

∴，

又由，，則

∴由恒成立，且為整數，可得的最小值為1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于函數，有下列4個命題：①任取，都有恒成立；②，對于一切恒成立；③函數有3個零點；④對任意，不等式恒成立.則其中所有真命題的序號是______.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為，過F1的直線l與橢圓C交于M，N兩點，且△MNF2的周長為8．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點，且OA⊥OB，試問點O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知等腰梯形中，是的中點，，將沿著翻折成，使平面平面．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ) 求，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（， 為參數），以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）在曲線上取兩點， 與原點構成，且滿足，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）利用極坐標與直角坐標的互化公式可得直線的直角坐標方程為，

，消去參數可知曲線是圓心為，半徑為的圓，由直線與曲線相切，可得： ；則曲線C的方程為， 再次利用極坐標與直角坐標的互化公式可得

可得曲線C的極坐標方程.

(2)由（1）不妨設M（），，（），

，

，

由此可求面積的最大值.

試題解析：（1）由題意可知直線的直角坐標方程為，

曲線是圓心為，半徑為的圓，直線與曲線相切，可得： ；可知曲線C的方程為，

所以曲線C的極坐標方程為，

即.

(2)由（1）不妨設M（），，（），

，

，

當 時， ，

所以△MON面積的最大值為.

【題型】解答題
【結束】
23

【題目】已知函數的定義域為；

（1）求實數的取值范圍；

（2）設實數為的最大值，若實數， ， 滿足，求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線的極坐標方程為，點的極坐標為，在平面直角坐標系中，直線經過點，且傾斜角為.

（1）寫出曲線的直角坐標方程以及點的直角坐標；

（2）設直線與曲線相交于，兩點，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，是的中點．

（1）證明；

（2）若，

（i）求直線與平面所成角的正弦值；

（ii）設平面與側棱交于，求.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數圖象兩條相鄰的對稱軸間的距離為.

（1）求的值；

（2）將函數的圖象沿軸向左平移個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，求的值.

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