Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面平面，且，，為的中點，．

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點，連接，根據三角形中位線的性質可得，再根據線面平行的判定可得結論成立．（2）在中由余弦定理得，于是．在平面內，作，交的延長線于，由條件可得平面，即為點到平面的距離，然后再結合求解可得所求．

（1）證明：連接，交于點，連接．

∵為的中點，為的中點，

∴為的中位線，

∴，且．

又平面，平面，

∴平面．

（2）在中，，，

由余弦定理得，

∴．

∴．

∵，且為的中點，

∴．

在中，．

在平面內，作，交的延長線于．

∵平面平面，平面平面,

∴平面．

即為點到平面的距離．

∵點為的中點，

∴點到平面的距離是長度的一半．

在中，，

∴．