Question

【題目】已知橢圓過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓在左、右頂點分別為、，左焦點為，過的直線與交于、兩點（和均不在坐標軸上），直線、分別與軸交于點、，直線、分別與軸交于點、，求證：為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定值.

【解析】

（1）設橢圓的焦距為，由離心率及過的點和、、之間的關系求出橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，將直線與橢圓的方程聯立，設點，，求出兩根之和及兩根之積，寫出、的方程由題意求出、的坐標，求出的值，同理由題意求出的值，進而求出比值為定值．

（1）設橢圓的焦距為，由題意，，解得，，

所以，橢圓的方程為；

（2）由（1）知，，，

由題意，直線不與軸垂直，且不過橢圓的上、下頂點，

故可設直線的方程為，設，.

由，消去，整理得.

，由韋達定理，，.

直線的方程為，.

同理，.

所以，，

直線的方程為，.

同理，.

所以，，

由題意，，故.