Question

【題目】某工廠，兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下，通過日常監控得知，，生產線生產的產品為合格品的概率分別為和．

（1）從，生產線上各抽檢一件產品，若使得產品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值；

（2）假設不合格的產品均可進行返工修復為合格品，以（1）中確定的作為的值．

①已知，生產線的不合格品返工后每件產品可分別挽回損失5元和3元，若從兩條生產線上各隨機抽檢1000件產品，以挽回損失的平均數為判斷依據，估計哪條生產線的挽回損失較多？

②若最終的合格品（包括返工修復后的合格品）按照一、二、三等級分類后，每件可分別獲利10元、8元、6元，現從，生產線的最終合格品中各隨機抽取100件進行分級檢測，結果統計如圖所示，用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產一件產品的利潤為，求的分布列并估計該廠產量2000件時利潤的期望值．

Answer 1

【答案】（1）0.95；（2）①生產線挽回的平均損失較多；②分布列見解析，16200元.

【解析】

（1）根據獨立事件同時發生以及對立事件的概率，求出產品至少有一件合格的概率，根據已知建立的不等量關系，即可求解；

（2）①根據（1）的結論求出生產線不合格品率，進而求出兩條生產線的不合格品數，即可求出結論；

②的可能取值為6，8，10，根據頻數分布圖，求出可能值的頻率，得到的分布列，根據期望公式求解即可.

（1）設從，生產線上各抽檢一件產品，至少有一件合格為事件，從，生產線上抽檢到合格品分別為事件，，由題知，，互為獨立事件，所以，，

，

令，解得，故的最小值．

（2）由（1）可知，，生產線生產的產品為合格品率分別為0.95和0.9，

不合格品率分別為0.05和0.1．

①由題知，生產線上隨機抽檢1000件產品，

估計不合格品（件），

可挽回損失為（元），

生產線上隨機抽檢1000件產品，

估計不合格品（件），

可挽回損失為（元）．

由此，估計生產線挽回的平均損失較多．

②由題知，的所有可能取值為6，8，10，

用樣本的頻率分布估計總體分布，則

，，

，

所以的分布列為

	6	8	10

所以（元）．

故估計該廠產量為2000件時利潤的期望值為（元）．