Question

設z₁=1-cosθ+isinθ，z₂=a²+ai（a∈R），若z₁z₂≠0，z₁z₂-

.

z1z2

=0，問在（0，2π）內是否存在θ使（z₁-z₂）²為實數？若存在，求出θ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：這是一道探索性問題．可根據復數的概念與純虛數的性質及復數為實數的充要條件，直接進行解答．

解答：解：假設滿足條件的θ存在．
因z₁z₂≠0，z₁z₂-

.

z1z2

=0，故z₁z₂為純虛數．
又z₁z₂=（1-cosθ+isinθ）（a²+ai）
=[a²（1-cosθ）-asinθ]+[a（1-cosθ）+a²sinθ]i，
于是，

a2(1-cosθ)-asinθ=0，① a(1-cosθ)+a2sinθ≠0   ②

由②知a≠0．
因θ∈（0，2π），故cosθ≠1．于是，由①得a=

sinθ

1-cosθ

．
另一方面，因（z₁-z₂）²∈R，故z₁-z₂為實數或為純虛數．
又z₁-z₂=1-cosθ-a²+（sinθ-a）i，
于是sinθ-a=0，或1-cosθ-a²=0．
若sinθ-a=0，則由方程組

sinθ-a=0 a= sinθ 1-cosθ

得

sinθ

1-cosθ

=sinθ，故cosθ=0，于是θ=

π

2

或θ=

3π

2

．
若1-cosθ-a²=0，則由方程組

1-cosθ-a2=0 a= sinθ 1-cosθ

得（

sinθ

1-cosθ

）²=1-cosθ．
由于sin²θ=1-cos²θ=（1+cosθ）（1-cosθ），故1+cosθ=（1-cosθ）²．
解得cosθ=0，從而θ=

π

2

或θ=

3π

2

．
綜上所知，在（0，2π）內，存在θ=

π

2

或θ=

3π

2

，使（z₁-z₂）²為實數．

點評：①解題技巧：解題中充分使用了復數的性質：z≠0，z+z=0?z∈{純虛數}?

Re(z)=0\?(z)≠0

以及z²∈R?z∈R或z∈{純虛數}．（注：Re（z），Im（z）分別表示復數z的實部與虛部）
②解題規律：對于“是否型存在題型”，一般處理方法是首先假設結論成立，再進行正確的推理，
若無矛盾，則結論成立；否則結論不成立．