Question

已知a，b∈R，i為虛數單位，a+(1-i)2=

2b

1+i

，則函數f（x）=sinaxcosbx的周期是（　　）

• A、

  π

  2

• B、π
• C、3π
• D、4π

Answer 1

分析：利用完全平方公式化簡已知等式的左邊，右邊分子分母同時乘以1-i，根據i²=-1及復數為0時的條件，確定出a與b的值，代入所求的式子中，利用二倍角的正弦函數公式化簡為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

，即可求出函數的周期．

解答：解：由a+(1-i)2=

2b

1+i

，
變形得：a+1-2i+i²=

2b(1-i)

(1+i)(1-i)

，
即（a-b）+（b-2）i=0，
∴a-b=0，且b-2=0，
∴a=b=2，
則函數f（x）=sin2xcos2x=

1

2

sin4x，
∵ω=4，∴T=

2π

4

=

π

2

．
故選A

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，涉及的知識有復數代數形式的混合運算，復數相等的充要條件，以及二倍角的正弦函數公式，利用復數的混合運算法則化簡已知的等式確定出a與b的值是本題的突破點，根據三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．