【題目】已知函數
.
（1）討論
在
上的單調性；
（2）當
時，求
在
上的零點個數.
【答案】（1）當
時，
在
上單調遞增；當
時，在
上單調遞減，在
上單調遞增（2）有1個零點
【解析】
（1）求得的導函數
，對
分成和兩種情況，分類討論的單調性.
（2）當
時，利用
的二階導數判斷出一階導數
的單調性，結合零點存在性定理求得的零點，由此判斷出的單調區間，再結合零點存在性定理，判斷出在區間上的零點個數.
（1）因為
，所以
.
因為
，所以
.
①當
，即時，
，
所以在上單調遞增.
②當
，即時，令
，得
.
當
時，
，所以
，
當
時，
，所以，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）當時，
，則
.
設
，則
.
當
時，
，所以
在
上單調遞增.
因為
，
，所以存在
，使得
，
且在
上
，單調遞減，在
上
，單調遞增.
所以
為在上的最小值.
又因為
，
，
所以在上有1個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
為橢圓
上一點，其中
為橢圓
的離心率，橢圓的長軸長是短軸長的兩倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知
，
（均不與點
重合）是該橢圓上關于原點對稱的兩點，當
的面積最大時，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知可導函數f（x）的定義域為
，且滿足
，
，則對任意的
，“
”是“
”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列
和等比數列
的各項均為整數，它們的前
項和分別為
，且
，
.
（1）求數列，的通項公式；
（2）求
；
（3）是否存在正整數
，使得
恰好是數列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】產能利用率是工業總產出對生產設備的比率，反映了實際生產能力到底有多少在運轉發揮生產作用.汽車制造業的產能利用率的正常值區間為
，稱為“安全線”.如圖是2017年第3季度到2019年第4季度的中國汽車制造業的產能利用率的統計圖.以下結論正確的是（ ）
A.10個季度中，汽車產能利用率低于“安全線”的季度有5個
B.10個季度中，汽車產能利用率的中位數為
C.2018年4個季度的汽車產能利用率的平均數為
D.與上一季度相比，汽車產能利用率變化最大的是2019年第4季度
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB
，平面α過長方體頂點D，且平面α∥平面AB1C，平面α∩平面ABB1A1＝l，則直線l與BC1所成角的余弦值為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓Γ：
的離心率為
，左右焦點分別為F1，F2，且A、B分別是其左右頂點，P是橢圓上任意一點，△PF1F2面積的最大值為4.
（1）求橢圓Γ的方程.
（2）如圖，四邊形ABCD為矩形，設M為橢圓Γ上任意一點，直線MC、MD分別交x軸于E、F，且滿足
，求證：AB＝2AD.
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