Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數的單調性；

（2）證明：當a＝3時，函數有且只有兩個零點．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由，分和兩種情況進行討論得出函數的單調性.
（2）函數有且只有兩個零點,即方程有且只有兩個實數根，即有且只有兩個實數根，設，求出導數，求出函數的單調區間，結合零點存在原理得出結論,使得問題得證.

解：（1）的定義域為，．

①時，，則在是單調遞增；

②時，由得，當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增．

綜上，時在是單調遞增；

時，在單調遞減，在單調遞增．

（2）．，令，

則，令，

顯然時，，

時，，所以在上單調遞增.

,

易知存在唯一，使，且時，，即，單調遞減；

時，，即，單調遞增，

所以至多有兩個零點．又，，，

故在區間和各有一個零點．所以函數有且只有兩個零點．