Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，該橢圓與y軸正半軸交于點M，且△MF1F2是邊長為2的等邊三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點F2任作一直線交橢圓于A，B兩點，平面上有一動點P，設直線PA，PF2，PB的斜率分別為k1，k，k2，且滿足k1+k2=2k，求動點P的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）x=4.

【解析】

（1）根據橢圓的定義可得，從而可求出橢圓的方程.

（2）設過點F2的直線方程為y=（x﹣1）（當斜率存在時），設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），將直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理求出兩根之和、兩根之積，用兩點表示出直線的斜率，代入k1+k2=2k，化簡即可求解；當直線斜率不存在時，驗證是否滿足求出的軌跡方程即可.

（1）由題意可知：b=|OM|，a=|MF1|=2，

所以橢圓標準方程為.

（2）①設過點F2的直線方程為y=（x﹣1）（當斜率存在時），

設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

聯立方程，得到（3+42）x2﹣82x+42﹣12=0，

其中，，y1=（x1﹣1），y2=（x2﹣1），

由k1+k2=2k得：，

通分代入得：，

即（x0﹣4）（（x0﹣1）﹣y0）=0，y0=（x0﹣1）舍去，所以x0=4，

②當直線斜率k不存在時，即為x=1，經驗證可知直線x0=4上任意一點亦滿足條件.

所以點P的軌跡的方程為x=4.