Question

【題目】某社區名居民參加年國慶活動，他們的年齡在歲至歲之間，將年齡按、、、、分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求的值，并求該社區參加年國慶活動的居民的平均年齡（每個分組取中間值作代表）；

（2）現從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人進行座談，用表示參與座談的居民的年齡在的人數，求的分布列和數學期望；

（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取名進行調查，其中有名市民的年齡在的概率為，當最大時，求的值.

Answer 1

【答案】（1），平均年齡；（2）分布列見解析，；（3）.

【解析】

（1）由頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為，求出的值，再將所有矩形底邊中點值乘以矩形面積，再將所得的數相加即可得出該社區年國慶活動的居民的平均年齡；

（2）先根據分層抽樣得知，所抽取的人中，年齡在的抽取人、年齡在的抽取人，可得出隨機變量的可能取值為、、，并利用古典概型的概率公式計算出隨機變量分別取、、時的概率，列出隨機變量的分布列，并利用數學期望公式計算出隨機變量的數學期望；

（3）設年齡在的人數為，可知，利用獨立重復試驗的概率公式得出，分析出數列的單調性，可求出的最大值及對應的的值.

（1）由頻率分布直方圖知，解得，

所以該社區參加年國慶活動的居民的平均年齡為

；

（2）年齡在的人數為，年齡在的人數為.

根據分層抽樣，可知年齡在的抽取人、年齡在的抽取人.

所以的可能取值為0，1，2，且，，，

所以的分布列為

所以；

（3）由題可知年齡在內的頻率為.

設年齡在的人數為，所以.

.

設，

由得，此時；由得，此時.

所以當時，最大.