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【題目】在平面直角坐標系xOy中，中心在原點的橢圓C的上焦點為，離心率等于．

求橢圓C的方程；

設過且不垂直于坐標軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點，問：線段OF上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？作出判斷并證明．

【答案】（1）（2）存在滿足條件的點

【解析】

（1）根據題意可得，，即可求出橢圓方程；（2）設滿足條件的點，則，設的方程為：，（），代入橢圓方程，根據菱形的對角線互相垂直即，結合韋達定理和向量的運算即可求出．

解：（1）由題意可知橢圓的離心率，，

所以，，進而橢圓的方程為

（2）存在滿足條件的點.

設滿足條件的點，則（），

設的方程為：，（），代入橢圓方程，，

設，，則，∴.

∵以、為鄰邊的平行四邊形為菱形，∴

∵

∴，且的方向向量為

∴ 即

∵，∴，

∴，∴存在滿足條件的點.

練習冊系列答案
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【題目】拋物線的焦點為，點，為拋物線上一點，且不在直線上，則周長的最小值為____．

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【題目】已知函數f(x)＝cos(2x－)，x∈R.

(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞減區間；

(2)求函數f(x)在區間[－，]上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值.

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【題目】在創建“全國文明衛生城”過程中，某市“創城辦”為了調查市民對創城工作的了解情況，進行了一次創城知識問卷調查(一位市民只能參加一次).通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的1000人的得分(滿分100分)統計結果如下表所示.

組別

頻數

25

150

200

250

225

100

50

（1）由頻數分布表可以大致認為，此次問卷調查的得分服從正態分布， 近似為這1000人得分的平均值值(同一組數據用該組數據區間的中點值表示)，請用正態分布的知識求；

（2）在（1）的條件下,“創城辦”為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：:

（�。┑梅植坏陀�的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；

（ⅱ）每次獲贈送的隨機話費和對應的概率為：

贈送的隨機話費（單元：元）

20

40

概率

0.75

0.25

現有市民甲要參加此次問卷調查，記 (單位：元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費,求的分布列與數學期望.

附：參考數據與公式

，若，則

①；

②；

③.

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【題目】函數的圖象與直線恰有三個不同的交點，則實數的取值范圍是_________.

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【題目】在平面直角坐標平面中， 的兩個頂點為，平面內兩點、同時滿足：①；②；③．

（1）求頂點的軌跡的方程；

（2）過點作兩條互相垂直的直線，直線與點的軌跡相交弦分別為，設弦的中點分別為．

①求四邊形的面積的最小值；

②試問：直線是否恒過一個定點？若過定點，請求出該定點，若不過定點，請說明理由．

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，且，過點的直線與橢圓交于，兩點，的周長為8.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）試問：是否存在定點，使得為定值？若存在，求；若不存在，請說明理由.

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【題目】某學校、兩個班的數學興趣小組在一次數學對抗賽中的成績繪制莖葉圖如下，通過莖葉圖比較兩班數學興趣小組成績的平均值及方差

①班數學興趣小組的平均成績高于班的平均成績

②班數學興趣小組的平均成績高于班的平均成績

③班數學興趣小組成績的標準差大于班成績的標準差

④班數學興趣小組成績的標準差大于班成績的標準差

其中正確結論的編號為（ ）

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

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【題目】如圖，橢圓，且點到橢圓C的兩焦點的距離之和為.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ) 若，是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為，且直線與交于點，求證：點在直線上.

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