Question

【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，點O為坐標原點，點P在雙曲線右支上，△PF1F2內切圓的圓心為Q，圓Q與x軸相切于點A，過F2作直線PQ的垂線，垂足為B. 則 |OA|+2|OB|=_____

Answer 1

【答案】3

【解析】

利用切線長定理，結合雙曲線的定義，把|PF1|﹣|PF2|＝2a，轉化為|AF1|﹣|AF2|＝2a，從而求得點A的橫坐標即得到|OA|,在△F1CF2中，利用中位線定理得出|OB|，從而得到答案．

根據題意得F1（﹣c，0），F2（c，0），設△PF1F2的內切圓分別與PF1，PF2切于點A1，B1，與F1F2切于點A，則|PA1|＝|PB1|，|F1A1|＝|F1A|，|F2B1|＝|F2A|，又點P在雙曲線右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|F1A|﹣|F2A|＝2a，而|F1A|+|F2A|＝2c，設A點坐標為（x，0），則由|F1A|﹣|F2A|＝2a，得（x+c）﹣（c﹣x）＝2a，解得x＝a，

∴|OA|＝a，∴在△F1CF2中，OB＝CF1＝（PF1﹣PC）＝（PF1﹣PF2）＝＝a，

∴|OA|與|OB|的長度均為a,由雙曲線方程可知，a=1,

∴|OA|+2|OB|=3a=3.

故答案為：3．