Question

【題目】黃河被稱為我國的母親河，它的得名據說來自于河水的顏色，黃河因攜帶大量泥沙所以河水呈現黃色， 黃河的水源來自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流經黃土高原，又有太多攜帶有大量泥沙的河流匯入才造成黃河的河水逐漸變得渾濁.在劉家峽水庫附近，清澈的黃河和攜帶大量泥沙的洮河匯合，在兩條河流的交匯處，水的顏色一清一濁，互不交融，涇渭分明，形成了一條奇特的水中分界線，設黃河和洮河在汛期的水流量均為2000，黃河水的含沙量為，洮河水的含沙量為，假設從交匯處開始沿岸設有若干個觀測點，兩股河水在流經相鄰的觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股河水在1秒內交換的水量，即從洮河流入黃河的水混合后，又從黃河流入的水到洮河再混合.

（1）求經過第二個觀測點時，兩股河水的含沙量；

（2）從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于?（不考慮泥沙沉淀）

Answer 1

【答案】（1）洮河水的含沙量為，黃河水的含沙量為.（2）第8個觀測點

【解析】

（1）用，分別表示河流在經過第n個觀測點時，洮河水和黃河水的含沙量，則，，利用遞推關系求出即可得結果；（2）由題意可知， ， 兩式結合化簡可得數列是以18為首項，為公比的等比數列， 求出通項公式，解不等式即可得結果.

（1）用，分別表示河流在經過第n個觀測點時，洮河水和黃河水的含沙量，

則，.

由題意可知，，

，

即經過第二個觀測點時，洮河水的含沙量為，黃河水的含沙量為.

（2）由題意可知，

，

由于題目中問題考慮河水中含沙量之差，故可考慮數列，

由上式可知，，，

所以數列是以18為首項，為公比的等比數列，

則，令則，，

即從第8個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于.