Question

【題目】函數 .

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）當時，若 ，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）求出導函數對分四種情況討論： ，分別令求得 的范圍，可得函數增區間， 求得 的范圍，可得函數的減區間；（2）對討論兩種情況： 時，由（1）知， 在上單調遞增，當時， ，可得，符合題意； 時， 在上單調遞減，當時， ，可證明，不合題意，從而可得實數的取值范圍是.

試題解析：（1）由得，故的定義域為， ，

因為，所以，

①當時， 對恒成立，

在內無解，故在上單調遞增；

②當時，因為恒成立，所以上單調遞增；

③當 時， 恒成立， ，在上單調遞增；

④當時，由，得 ，

由，得，

故在上單調遞減，在和上單調遞增，

綜上，當時， 在上單調遞增，

當時， 在上單調遞減， 在和上單調遞增.

（2）①當時，由（1）知， 在上單調遞增，

所以當時， ，即 ，

兩式相減得，

②當時， 在上單調遞減，

所以當時， ，

即 ，兩式相減得，

綜上可知，當時，若，則實數的取值范圍是

【方法點晴】本題主要考查的是利用導數研究函數的單調性、不等式的恒成立和分類討論思想的應用，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得 的范圍就是遞減區間；④根據單調性求函數的極值及最值（閉區間上還要注意比較端點處函數值的大小）.