Question

【題目】已知兩圓，的圓心分別為c1，c2，，P為一個動點，且.

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）是否存在過點A（2，0）的直線l與軌跡M交于不同的兩點C，D，使得C1C＝C1D?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在滿足題意的直線l，使得C1C＝C1D.

【解析】

試題分析：（1）寫出兩圓的圓心坐標，根據∵||+||= ＞2=| |可知動點P的軌跡是以和為焦點、長軸長為2a= 的橢圓，從而易求橢圓方程即所求軌跡方程；（2）當斜率不存在時容易判斷，當存在斜率時，設直線l的方程為y=k（x-2），聯立直線l方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，則有△＞0，設交點C ，D ，CD的中點為N ，求出二次方程的兩解，從而可得線段CD中點N的橫坐標，代入直線方程可得縱坐標，要使C1C＝C1D，必須有⊥l，即，解出方程的解k，再檢驗是否滿足△＞0即可

試題解析：（1）兩圓的圓心坐標分別為C1（1，0），C2(－1，0).

因為，

所以根據橢圓的定義可知，動點P的軌跡為以原點為中心、C1C2為焦點、長軸長為的橢圓，且，c＝1，

所以橢圓的方程為，即動點P的軌跡M的方程為.

（2）當直線l的斜率不存在時，易知點A（2，0）在橢圓M的外部，直線l與橢圓M無交點，此時直線l不存在.

故直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為

由得 ①

依題意，有，解得

當時，設交點C(x1，y1)，D（x2，y2），CD的中點為N（x0，y0），則，所以.

要使C1C＝C1D必須C1N⊥l，即，所以，

即－1＝0，矛盾.

所以不存在直線l，使得C1C＝C1D.

綜上所述，不存在滿足題意的直線l，使得C1C＝C1D.