Question

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=2sinθ，它在點 處的切線為直線l．
（1）求直線l的直角坐標方程；
（2）已知點P為橢圓 =1上一點，求點P到直線l的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C的極坐標方程為ρcos2θ=2sinθ，

∴ρ2cos2θ=2ρsinθ，

∴曲線C的直角坐標方程為y= x2，

∴y′=x，又M（2 ， ）的直角坐標為（2，2），

∴曲線C在點（2，2）處的切線方程為y﹣2=2（x﹣2），

即直線l的直角坐標方程為：2x﹣y﹣2=0

（2）解：P為橢圓 =1上一點，設P（ cosα，2sinα），

則P到直線l的距離d= = ，

當sin（α﹣ ）=﹣ 時，d有最小值0．

當sin（α﹣ ）=1時，d有最大值 ．

∴P到直線l的距離的取值范圍為：[0， ]

【解析】（1）利用極坐標方程與普通方程的互化求解即可．（2）設出橢圓的參數方程，利用點到直線的距離公式化簡求解即可．