Question

【題目】如果函數的定義域為，對于定義域內的任意存在實數使得成立，則稱此函數具有“性質”.

（1）判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”，寫出所有的值；若不具有“性質”，請說明理由.

（2）設函數具有“性質”，且當時，，求當時函數的解析式；若與交點個數為1001個，求的值.

Answer 1

【答案】（1），理由見解析（2），；.

【解析】

（1）根據題意先檢驗是否成立即可檢驗是否具有“（a）性質（2）由題意可得，，據此遞推關系可推斷函數的周期，根據交點周期性出現的規律即可求解滿足條件的，以及的解析式.

（1）由得，

根據誘導公式得．

具有“（a）性質”，其中．

（2）具有“性質”，

，，

，

從而得到是以2為周期的函數．

又，則，

．

再設，

當，則，則，

；

當，則，則

；

，；.

對于，，都有，而，

，

是周期為1的函數．

①當時，要使與有1001個交點，只要與在，有1000個交點，而在，有一個交點．

過，，從而得

②當時，同理可得

③當時，不合題意．

綜上所述