Question

【題目】曲線的右焦點分別為，短袖長為，點在曲線上，直線上，且.

（1）求曲線的標準方程；

（2）試通過計算判斷直線與曲線公共點的個數.

（3）若點在都在以線段為直徑的圓上，且，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）只有一個公共點（3）

【解析】

（1）根據橢圓的幾何性質，列出方程組，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）由，根據向量的數量積公式可得的縱坐標，取得直線的直線方程，

即可作出判定，得到答案；

（3）由得到，進而得打不等式，即可求解．

（1）由曲線的右焦點分別為，短袖長為，所以，解得，所以曲線的標準方程為：

（2）由在，

可得，解得，所以，

設，則

又由，則，

即，解得，所以，

所以

若，則，

由，解得，

知道直線與曲線相切，只有一個公共點；

若，同理可知直線與曲線相切，只有一個公共點；

（3）因為，

即，所以

所以，

又，所以．