【題目】無窮數列
滿足： 
為正整數，且對任意正整數
， 
為前
項
， 
， 
， 
中等于
的項的個數.
（Ⅰ）若
，請寫出數列
的前7項；
（Ⅱ）求證：對于任意正整數
，必存在
，使得
；
（Ⅲ）求證:“
”是“存在
，當
時，恒有
成立”的充要條件。
【答案】（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題設條件，直接寫出即可；
（Ⅱ）假設存在正整數
，使得對任意的
， 
，利用反證法證明即可；
（Ⅲ）可分充分性和必要性證明即可，當
時，得數列
滿足
， 
，當
為偶數，則
；當
為奇數，則
，即可證得充分性；再作出必要性的證明即可.
試題解析：
（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1
（Ⅱ）假設存在正整數
，使得對任意的
， 
. 由題意， 
考慮數列
的前
項：
， 
， 
，…， 
其中至少有
項的取值相同，不妨設
此時有： 
，矛盾.
故對于任意的正整數
，必存在
.
（Ⅲ）充分性：
當
時，數列
為
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
，…
特別地， 
， 
，故對任意的
（1）若
為偶數，則
（2）若
為奇數，則
綜上， 
恒成立，特別地，取
有當
時，恒有
成立
方法一:假設存在
（
），使得“存在
，當
時，恒有
成立”
則數列
的前
項為
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
后面的項順次為
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
……
對任意的
，總存在
，使得
， 
，這與
矛盾，故若存在
，當
時，恒有
成立，必有
方法二：若存在
，當
時， 
恒成立，記
.
由第（2）問的結論可知：存在
，使得
（由s的定義知
）
不妨設
是數列
中第一個大于等于
的項，即
均小于等于s.
則
.因為
，所以
，即
且
為正整數，所以
.
記
，由數列
的定義可知，在
中恰有t項等于1.
假設
，則可設
，其中
，
考慮這t個1的前一項，即
，
因為它們均為不超過s的正整數，且
，所以
中一定存在兩項相等，
將其記為a，則數列
中相鄰兩項恰好為（a，1）的情況至少出現2次，但根據數列
的定義可知：第二個a的后一項應該至少為2，不能為1，所以矛盾！
故假設
不成立，所以
，即必要性得證！
綜上，“
”是“存在
，當
時，恒有
成立”的充要條件.
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金狀元績優好卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】據中國日報網報道：2017年11月13日，TOP500發布的最新一期全球超級計算機500強榜單顯示，中國超算在前五名中占據兩席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了國產品牌處理器。為了了解國產品牌處理器打開文件的速度，某調查公司對兩種國產品牌處理器進行了12次測試，結果如下（數值越小，速度越快，單位是MIPS）
測試1 | 測試2 | 測試3 | 測試4 | 測試5 | 測試6 | 測試7 | 測試8 | 測試9 | 測試10 | 測試11 | 測試12 | |
品牌A | 3 | 6 | 9 | 10 | 4 | 1 | 12 | 17 | 4 | 6 | 6 | 14 |
品牌B | 2 | 8 | 5 | 4 | 2 | 5 | 8 | 15 | 5 | 12 | 10 | 21 |
（Ⅰ）從品牌A的12次測試中，隨機抽取一次，求測試結果小于7的概率；
（Ⅱ）從12次測試中，隨機抽取三次，記X為品牌A的測試結果大于品牌B的測試結果的次數，求X的分布列和數學期望E（X）；
（Ⅲ）經過了解，前6次測試是打開含有文字和表格的文件，后6次測試是打開含有文字和圖片的文件.請你依據表中數據，運用所學的統計知識，對這兩種國產品牌處理器打開文件的速度進行評價.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若直線
與曲線
滿足下列兩個條件：
（i)直線
在點
處與曲線
相切；（ii)曲線
在點
附近位于直線
的兩側.則稱直線
在點
處“切過”曲線
.
下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
①直線
在點
處“切過”曲線
；
②直線
在點
處“切過”曲線
；
③直線
在點
處“切過”曲線
；
④直線
在點
處“切過”曲線
；
⑤直線
在點
處“切過”曲線
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知表1和表2是某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表：
表1：某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表
日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 |
1月1日 | 7：36 | 4月9日 | 5：46 | 7月9日 | 4：53 | 10月8日 | 6：17 |
1月21日 | 7：11 | 4月28日 | 5：19 | 7月27日 | 5：07 | 10月26日 | 6：36 |
2月10日 | 7：14 | 5月16日 | 4：59 | 8月14日 | 5：24 | 11月13日 | 6：56 |
3月2日 | 6：47 | 6月3日 | 4：47 | 9月2日 | 5：42 | 12月1日 | 7：16 |
3月22日 | 6：15 | 6月22日 | 4：46 | 9月20日 | 5：50 | 12月20日 | 7：31 |
表2：某年1月部分日期的天安門廣場升旗時刻表
日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 |
2月1日 | 7：23 | 2月11日 | 7：13 | 2月21日 | 6：59 |
2月3日 | 7：22 | 2月13日 | 7：11 | 2月23日 | 6：57 |
2月5日 | 7：20 | 2月15日 | 7：08 | 2月25日 | 6：55 |
2月7日 | 7：17 | 2月17日 | 7：05 | 2月27日 | 6：52 |
2月9日 | 7：15 | 2月19日 | 7：02 | 2月28日 | 6：49 |
（1）從表1的日期中隨機選出一天，試估計這一天的升旗時刻早于7：00的概率；
（2）甲、乙二人各自從表2的日期中隨機選擇一天觀看升旗，且兩人的選擇相互獨立，記
為這兩人中觀看升旗的時刻早于7：00的人數，求
的 分布列和數學期望；
（3）將表1和表2的升旗時刻化為分數后作為樣本數據（如7：31化為
），記表2中所有升旗時刻對應數據的方差為
，表1和表2中所有升旗時刻對應數據的方差為
，判斷
與
的大�。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018百校聯盟TOP20一月聯考】函數
在
處的切線斜率為
．
（I）討論函數
的單調性；
（II）設
， 
，對任意的
，存在
，使得
成立，求
的取值范圍．
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