Question

圖是某水產養殖場的養殖大網箱的平面圖，四周的實線為網衣為避免混養，用篩網（圖中虛線）把大網箱隔成大小一樣的小網箱．每個小網箱的長為x米，寬為y米．若大網箱的面積為160平方米，網衣的造價為112元/米，篩網的造價為96元/米，且大網箱的長與寬都不超過15米．
（Ⅰ）設總造價為W元，試求出W關于x的函數關系式；
（Ⅱ）小網箱的長、寬分別為多少米時，可使總造價最低？

Answer 1

分析：（1）利用已知條件列出面積然后寫出利潤表達式．
（2）通過函數的導數判斷函數的單調性求出閉區間上的最小值即可．

解答：解：（1）依題意得：4x•2y=160，∴xy=20．…（1分）
∵4x≤15，且2y≤15，∴x≤

15

4

，y≤

15

2

．
又∵y=

20

x

≤

15

2

．所以

8

3

≤x≤

15

4

．…（3分）
∴W=（8x+4y）•112+（4x+6y）•96
=（8x+4×

20

x

）•112+（4x+6×

20

x

）•96
=1280（x+

16

x

） （

8

3

≤x≤

15

4

）…（7分）
（2）由（1）可知W′=1280（1-

16

x2

）=1280（

x2-16

x2

）
又∵x∈[

8

3

，

15

4

]，∴W′＜0 …（8分）
所以W（x）在[

8

3

，

15

4

]上單調遞減． …（10分）
所以當x=

15

4

時，W最小，此時x=

15

4

，y=

16

3

．…（12分）
即當小網箱的長與寬分別為

15

4

米與

16

3

米時，可使總造價最低．…（13分）
（注：若用基本不等式時注意等號取不到，其解法請參照給分．）

點評：本題考查函數的解析式的求法，利用導數求解函數的最小值，考查分析問題解決問題的能力．