Question

【題目】已知二次函數的圖象的頂點坐標為,且過坐標原點O,數列的前n項和為,點()在二次函數的圖象上.

(1)求數列的表達式;

(2)設(),數列的前n項和為,若對恒成立,求實數m的取值范圍;

(3)在數列中是否存在這樣的一些項,,,,…,…(),這些項能夠依次構成以為首項,q(,)為公比的等比數列?若存在,寫出關于k的表達式;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(1) () (2)見解析 (3) 存在,,().

【解析】

(1)先求出,通過討論n的范圍,從而得到數列的通項公式;

(2)通過討論n的奇偶性,從而求出的表達式,問題轉化為使(n為正偶數)恒成立即可;

(3)通過討論公比的奇偶性,從而得到答案.

(1)由題意得,

∴(),

當時,,

當時,適合上式,

∴數列的通項公式是:();

(2)∵,(),

∴

,

由(1)得:數列是以1為首項,公差為的等差數列,

①當,時,

,

,

②當,時,

,

∴,要使對恒成立,

只要使(n為正偶數)恒成立,

即使對n為正偶數恒成立.

∴;

(3)由知,數列中每一項都不可能是偶數,

①如存在以為首項,公比q為2或4的數列,,此時中每一項除第一項外都是偶數,

故不存在以為首項,公比為偶數的數列;

②時,顯然不存在這樣的數列,

時,若存在以為首項,公比為3的數列,,則,

,,,

∴存在滿足條件的數列,且,().