【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，且點
在橢圓上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點
的直線與橢圓交于
，
兩點，在直線
上存在點
，使三角形
為正三角形，求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由離心率得
，再把已知點的坐標代入橢圓方程，結合
可解得
，得橢圓方程；
（2）設直線
方程為
，與聯立方程組，消去
，設
，
，由韋達定理得
.設線段的中點為
，得直線
方程，求出
點坐標（此結論對
也適用），
是等邊三角形等價于
，由此可把
用
表示，設
換元后，可利用基本不等式求得最值．
（1）設
，則，，所以
，
，
由點
在橢圓
上得
，
，
，所以橢圓的方程為.
（2）顯然，直線的斜率存在，設其方程為，
與聯立方程組，消去，并化簡得
.
設，，則
，
.
設線段的中點為，則直線：
，令
，
又
，得點的坐標為
，顯然當時也符合，
所以
.
又因為
，
由三角形
為正三角形得，
所以
兩邊平方可得
，得
.
令，則
，當且僅當
，即
時等號成立，此時
，所以的最大值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知如圖一
，
，
，
，
分別為
，
的中點，
在
上，且
，
為
中點，將
沿
折起，
沿
折起，使得
，
重合于一點（如圖二），設為
．
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的大�。�
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某小學一班級1999級同學舉行20周年聚會，該班共來了12位同學，其中女同學6位，聚會過程中有一個游戲環節，在游戲環節中，需要隨機從中選出2位同學代表，進行男女搭配完成該項游戲，因此，每次選出的2位同學是一男一女，才算“有效選擇”；否則視為“無效選擇”，繼續下一次選擇，直到成為“有效選擇”為止.
（1）求第一次隨機選出的2位同學是“有效選擇”的概率；
（2）設第一次選出的2位同學代表中女同學人數為
，求隨機變量的分布列和數學期望
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校為了有效地加強高中生自主管理能力，推出了一系列措施，其中自習課時間的自主管理作為重點項目，學校有關處室制定了“高中生自習課時間自主管理方案”.現準備對該“方案”進行調查，并根據調查結果決定是否啟用該“方案”，調查人員分別在各個年級隨機抽取若干學生對該“方案”進行評分，并將評分分成
，
，
，
七組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
相關規則為①采用百分制評分，
內認定為對該“方案”滿意，不低于80分認定為對該“方案”非常滿意，60分以下認定為對該“方案”不滿意；②學生對“方案”的滿意率不低于
即可啟用該“方案”；③用樣本的頻率代替概率.
（1）從該校學生中隨機抽取1人，求被抽取的這位同學非常滿意該“方案”的概率，并根據頻率分布直方圖求學生對該“方案”評分的中位數.
（2）根據所學統計知識，判斷該校是否啟用該“方案”，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近年來，共享單車在我國各城市迅猛發展，為人們的出行提供了便利，但也給城市的交通管理帶來了一些困難，為掌握共享單車在
省的發展情況，某調查機構從該省抽取了5個城市，并統計了共享單車的
指標
和
指標
，數據如下表所示：
城市1 | 城市2 | 城市3 | 城市4 | 城市5 | |
| 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
（1）試求與間的相關系數
，并說明與是否具有較強的線性相關關系（若
，則認為與具有較強的線性相關關系，否則認為沒有較強的線性相關關系）.
（2）建立關于的回歸方程，并預測當指標為7時，指標的估計值.
（3）若某城市的共享單車指標在區間
的右側，則認為該城市共享單車數量過多，對城市的交通管理有較大的影響交通管理部門將進行治理，直至指標在區間內現已知省某城市共享單車的指標為13，則該城市的交通管理部門是否需要進行治理？試說明理由.
參考公式：回歸直線
中斜率和截距的最小二乘估計分別為
，，
相關系數
參考數據：
，
，
.
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