Question

已知數列中，前和
（1）求證：數列是等差數列
（2）求數列的通項公式
（3）設數列的前項和為，是否存在實數，使得對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）．

試題分析：（1）由可得，兩式相減即得關于數列項的遞推關系式，從而進行化簡進行判斷數列為等差數列；（2）由數列的第一項和遞推關系式可求出數列的第二項，從而求出數列的公差，進而求出數列的通項公式；（3）這是一個不等式恒成立問題，的最小值就是的最大值（上確界），而求是我們所熟悉的裂項相消法，于是本題不難得到結果.
試題解析：（1）由，知，兩式相減得，
，
整理得，所以，
兩式再相減整理得，，
∴數列為等差數列。
（2）即公差為2

（3）

要使得對一切正整數恒成立，只要≥，
所以存在實數使得對一切正整數都成立，的最小值為。