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小波以游戲方式決定參加學校合唱團還是參加學校排球隊.游戲規則為:以O為起點,再從(如圖)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數量積為.若就參加學校合唱團,否則就參加學校排球隊.

（I）求小波參加學校合唱團的概率；
（II）求的分布列和數學期望.

（I）小波參加學校合唱團的概率為.
（II）的分布列為:

 
 



 
 



.

解析試題分析：（I）觀察圖形，確定從8個點中任意取兩點為向量終點的方法數；
計算時,兩向量夾角為直角的情況數；
應用古典概型概率的計算公式計算“小波參加學校合唱團的概率”.
（II）注意到兩向量數量積的所有可能取值為
分別計算相應概率，寫出的分布列.關鍵是計算概率要準確.
利用數學期望計算公式得到.
本題難度不大，突出了對古典概型概率的計算方法，以及數學期望的計算公式等所學知識的考查.
試題解析：（I）從8個點中任意取兩點為向量終點的不同取法共有種,時,兩向量夾角為直角共有8種情形;所以小波參加學校合唱團的概率為.         4分
（II）兩向量數量積的所有可能取值為
當時，
當時,有2種情形
當時,有8種情形
當時,有10種情形.        8分
所以的分布列為:

 
 



 
 



                                                                  10分
.          12分
考點：古典概型概率的計算，離散性隨機變量的分布列、期望.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

記者在街上隨機抽取10人，在一個月內接到的垃圾短信條數統計的莖葉圖如下:

（Ⅰ）計算樣本的平均數及方差；
（Ⅱ）現從10人中隨機抽出2名，設選出者每月接到的垃圾短信在10條以下的人數為，求隨機變量的分布列和期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

甲有一只放有x個紅球，y個黃球，z個白球的箱子，乙有一只放有3個紅球，2個黃球，1個白球的箱子，
（1）兩個各自從自己的箱子中任取一球，規定：當兩球同色時甲勝，異色時乙勝。若用x、y、z表示甲勝的概率；
2）在（1）下又規定當甲取紅、黃、白球而勝的得分分別為1、2、3分，否則得0分，求甲得分的期望的最大值及此時x、y、z的值。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示．

一次購物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數（人）
x
30
25
y
10
結算時間（分鐘/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%．
（Ⅰ）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結算時間X的分布列與數學期望；
（Ⅱ）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．
（注：將頻率視為概率）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

氣象部門提供了某地今年六月份（30天）的日最高氣溫的統計表如下：

日最高氣溫t (單位：℃)
t22℃
22℃<t28℃
28℃<t32℃
℃
天數
6
12
   

由于工作疏忽，統計表被墨水污染，Y和Z數據不清楚，但氣象部門提供的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為0.9．
某水果商根據多年的銷售經驗，六月份的日最高氣溫t (單位：℃)對西瓜的銷售影響如下表：
日最高氣溫t (單位：℃)
t22℃
22℃<t28℃
28℃<t32℃
℃
日銷售額（千元）
2
5
    6
8
(Ⅰ) 求， 的值；
(Ⅱ) 若視頻率為概率，求六月份西瓜日銷售額的期望和方差；
(Ⅲ) 在日最高氣溫不高于32℃時，求日銷售額不低于5千元的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

生產A，B兩種元件，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為正品，小于82為次品．現隨機抽取這兩種元件各100件進行檢測，檢測結果統計如下：

測試指標
[70，76）
[76，82）
[82，88）
[88，94）
[94，100]
元件A
8
12
40
32
8
元件B
7
18
40
29
6
（Ⅰ）試分別估計元件A，元件B為正品的概率；
（Ⅱ）生產一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元．在（Ⅰ）的前提下，
（�。┯沊為生產1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數學期望；
（ⅱ）求生產5件元件B所獲得的利潤不少于140元的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設有關于x的一元二次方程．
(1)若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率；
(2)若a是從區間[0，3]任取的一個數，b是從區間[0，2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知A,B,C,D四個城市,它們各自有一個著名的旅游點,依次記為A,b,C,D,把A,B,C,D和A,b,C,D分別寫成左、右兩列.現在一名旅游愛好者隨機用4條線把城市與旅游點全部連接起來, 構成“一一對應”.規定某城市與自身的旅游點相連稱為“連對”,否則稱為“連錯”,連對一條得2分,連錯一條得0分.
(Ⅰ)求該旅游愛好者得2分的概率.
(Ⅱ)求所得分數的分布列和數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽取12件和5件，測量產品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產品的測量數據：

編號
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
76
81
  （1）已知甲廠生產的產品共84件，求乙廠生產的產品數量；
（2）當產品中的微量元素x，y滿足x≥175且y≥75，該產品為優等品，
①用上述樣本數據估計乙廠生產的優等品的數量；
②從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優等品數的分布列及其期望．

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